Как решать задание 15 ЕГЭ по математике профильного уровня

В задании 15 проверяется умение решать неравенства и их системы.

Эксперт, проверяющий выполнение этого задания, выставляет баллы в строгом соответствии с критериями, приведёнными в таблице:

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением конечного числа точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 2

Плюс в том, что вы сами выбираете метод решения и форму записи, и этот выбор не влияет на оценивание.

Оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Полнота и правильность приведённого решения и ответа определяются:

  1. Выбором метода решения уравнения.
  2. Соответствием выбранному методу верной последовательности всех необходимых шагов решения.
  3. Обоснованием основных моментов решения неравенства.
  4. Правильным применением формул, выполнением преобразований и вычислений.
  5. Верным ответом и его соответствием условию задачи.

Что нужно знать для успешного решения задания 15?

Числовые неравенства и их свойства Пример.
Неравенства с одной переменной, правила их решения Пример.
Методы решения неравенств Пример.

Пример 1. (Задание 15 ЕГЭ-2020, основная волна)

Решите неравенство

Решение. Находим ОДЗ: . В левой части неравенства применяем свойство логарифмов:

В правой – формулу квадрата разности и свойство логарифмов:

Исходное неравенство равносильно неравенству

, преобразовывая которое получим

Воспользуемся методом интервалов (см. рис.):

С помощью кривой знаков получаем

Ответ.

Лайфхак

Знаки выражений совпадают на ОДЗ, поэтому неравенства и равносильны при

Пример 2. (Задание 15 досрочного варианта ЕГЭ по профильной математике, 2019, ФИПИ)

Решите неравенство

Решение. Пусть . Неравенство примет вид

Решая последнее неравенство методом интервалов (см. рис.) и учитывая, что , получим .

Возвращаемся к переменной

Функция возрастающая, поэтому .

Ответ.